O algoritmo de Briot-Ruffini x Divisão Euclidiana – Exemplo

Neste post vamos reduzir o grau, pelas duas técnicas apresentadas no post anterior (Briot-Ruffini e Divisão Euclidiana), do seguinte polinômio: 

\[

   P(x)=x^{4}-2x^{3}-12x^{2}+18x+27  

\]

O primeiro passo é analisar as possíveis raízes dentre os múltiplos do termo independente de P(x).  Os múltiplos de 27 são: 1, -1, 3, -3, 9 e -9, aplicando em P(x) percebe-se que as raízes são: -3, -1 e a raiz dupla 3. Opta-se pela raiz 3, mas poderia ser qualquer uma das outras.

Lembrando que, o Algoritmo de Briot-Ruffini, por vezes denominado apenas como regra de Ruffini, é um método de resolução de frações polinomiais, criado por Paolo Ruffini. Esse algoritmo consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio por um binômio.

• Algoritmo de Briot-Ruffini

Inicia-se preenchendo o esquema, na primeira linha os coeficientes do polinômio P(x) e na primeira posição da segunda linha a raiz 3.

Então, deve-se copiar o mesmo coeficiente de maior grau.

Os passos seguintes se repetem até completar a tabela. O coeficiente desejado é o resultado da multiplicação do coeficiente anterior pela raiz e adicionado pelo coeficiente do polinômio P(x), conforme indicado pelas setas.

Finalizado o algoritmo, nota-se que realmente 3 é uma raiz, pois o último coeficiente é 0. Escrevendo o novo polinômio denotado por Q(x) tem-se:

$latex Q(x)=x^{3}+x^{2}-9x-9&s=1$ .

•  Divisão Euclidiana

Inicia-se estruturando o esquema para realizar a divisão:

Em seguida, escolhe-se um quociente que multiplicado pelo divisor e subtraído do dividendo anule o termo de maior grau. 

Da mesma forma que o passo anterior, deve-se escolher um quociente que multiplicado pelo divisor e subtraído do novo dividendo anule o segundo termo de maior grau.

Análogo aos passos anteriores, segue a divisão. 

Portanto, da mesma forma que o algoritmo de Briot-Ruffini, chega-se ao polinômio reduzido Q(x):

$latex Q(x)=x^{3}+x^{2}-9x-9&s=1$ .

Assim, esperamos que tenha ficado claro esse post sobre Algoritmo de Briot-Ruffini e Divisão Euclidiana.

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