Propriedades dos Logaritmos

No estudo dos logaritmos deve-se ter uma atenção toda especial para as Propriedades dos Logaritmos, porque estas podem facilitar muito os cálculos ou até mesmo ser o mecanismo utilizado para a resolução.

Notem que, o logaritmo é dado da forma:

$\log _{a}b$ ,

onde o logaritmando b deve ser b > 0, e a base do logaritmo a deve ser a > 0 e a ≠ 1 .

Então, a aplicação da operação do logaritmo é feita da seguinte maneira:

$\log _{a}b=x \Rightarrow b=a^{x}$ .

Logo, analisando a expressão acima percebe-se que:

1) $\log _{a}a=1$

2) $\log _{a}a^{n}=n$

3) $\log _{a}1=0$

4) $a^{\log _{a}b}=b$

5) $\log _{a}b=\log _{a}c\Rightarrow b=c$

Assim, após apresentar estas observações iniciais vejamos as propriedade dos logaritmos.

Cabe ressaltar que, o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos números a serem multiplicados; o logaritmo da razão é a diferença dos logaritmos; o logaritmo da p-ésima potência de um número é p vezes o logaritmo do número em questão e, por fim, a p-ésima raiz de um número é o logaritmo do número dividido por p. Assim, abaixo ilustramos isso através de uma lista dessas identidades

Propriedade do Produto:

$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c$

Propriedade do Quociente:

$\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$

Propriedade da Potência:

$\log_{a}b^{n}=n\cdot \log_{a}b$

Propriedade da mudança de base:

$\displaystyle \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

Por conseguinte, desta última propriedade tem-se:

$\log_{a}b\cdot \log_{c}a=\log_{c}b$

$\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1$ .

Desta última igualdade tiramos outra propriedade, nós chamamos de

Propriedade do Inverso multiplicativo:

$\displaystyle \log_{b}a=\frac{1}{\log_{a}b}$ .

Além do mais, entre todas as opções para a base, três são particularmente comuns. Essas são 10, 2 e a constante irracional e. Além disso, na análise matemática, o uso do logaritmo de base e é generalizado por causa de suas particulares propriedades analíticas. No entanto, o uso da base 10 é mais fácil para cálculos manuais no sistema de números decimais.

Portanto, esperamos que tenha ficado claro as principais propriedades dos Logaritmos. Continuem nos acompanhando. Divulguem nosso site. Compartilhem esse post com os amigos ou alguém que você acha que isso possa ser importante. Se ficou alguma dúvida, coloque abaixo nos comentários. Use seu login do Facebook.

Veja também a construção do Gráfico das Funções Logarítmicas ou assista em vídeo aqui.

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