Exercícios resolvidos sobre limites fundamentais

Neste post apresentam-se alguns Exercícios resolvidos sobre limites fundamentais, caso você ainda não os conhece clique aqui.

Exemplo 1) $\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{tg(4x)}{x}$

Neste primeiro exercício inicia-se utilizando as propriedades trigonométricas transformando a função tangente na divisão de seno por cosseno da seguinte forma:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{tg(4x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{cos(4x)\cdot x}$ .

Em seguida, deve-se multiplicar numerador e denominador por 4 e aplicar a propriedade da multiplicação de limites, acompanhe:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)\cdot 4}{cos(4x)\cdot 4x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{4}{cos(4x)}\cdot \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{4x}$ .

Agora pode-se trabalhar com os dois limites separadamente e, no fim, multiplicar as suas respostas. No primeiro vê-se facilmente que quando $x \rightarrow 0$ o denominador tenderá a 1, pois $cos(0)=1$ :

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{4}{cos(4x)}=\frac{4}{cos(0)}=\frac{4}{1}=4$ .

N segundo limite deve-se fazer uma mudança de variável, onde $u=4x$ , sabendo que quando $x \rightarrow 0$ temos também $u \rightarrow 0$ . Assim:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{4x}=\lim\limits_{u \rightarrow 0}\frac{sen(u)}{u}$ .

Aplicando o limite fundamental visto no post anterior tem-se:

$\displaystyle\lim\limits_{u \rightarrow 0}\frac{sen(u)}{u}=1$ .

Por fim, deve-se multiplicar o resultado dos dois limites, onde obtém-se:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{4}{cos(4x)}\cdot \lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{sen(4x)}{4x}=4\cdot 1=4$ .

Exemplo 2) $\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x+1}$

Ao olharmos para este segundo exemplo já podemos perceber que ao manipular este limite chega-se em uma expressão semelhante ao segundo limite fundamental.

Utilizando as propriedades das potências tem-se:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}\cdot\left( \frac{x+1}{x}\right)^{1}$ .

Como no exemplo anterior separa-se o limite na multiplicação de dois limites e depois de resolve-los, separadamente, multiplicam-se os resultados:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}\cdot\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)$ .

Manipulando o primeiro limite percebe-se facilmente que tem-se um limite fundamental:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{x}\right)^{x}=e$ .

O segundo, manipulando e usando as propriedades dos limites tem-se:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}1+\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}=1+0=1$ .

Por fim, basta multiplicar os resultados:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)^{x}\cdot\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+1}{x}\right)=e\cdot 1=e$ .

Exemplo 3) $\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}$

Neste exemplo inicia-se fazendo um truque matemático de somar e subtrair 1 do numerador e, em seguida, separar este limite na soma de outros dois:

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}+1-1-e^{-x}}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}+\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{-e^{-x}+1}{x}$ .