Exemplos de Máximos e Mínimos de uma função

Neste post apresentam-se Exemplos de Máximos e Mínimos de uma função, primeiramente exemplo teórico e em seguida um exemplo prático de aplicação deste conteúdo.

Exemplo 1: Encontre os pontos de máximos e mínimos da função dada:

com  .

Sabemos que f é diferenciável por ser uma função polinomial, assim pode-se derivar e encontrar os pontos críticos da função da seguinte forma:

.

Calculando os pontos críticos:  onde encontramos em . Estudando o sinal antes e depois do ponto crítico tem-se:

;

.

Como há mudança de sinal pode-se afirmar que este é um ponto de máximo ou mínimo, e ao avaliar os pontos no entorno fica-se com:

;

;

.

Assim, concluímos que este é um ponto de mínimo absoluto, visto que ela é continua e não há outros pontos de inflexão. Podemos também concluir que não a pontos de máximo pois a função tende nas suas extremidades para  . 

Exemplo 2: Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t é dada por  . Ache o maior e o menor número de bactérias durante o intervalo de tempo  .

Este exemplo possui domínio fechado. Assim, no cálculo dos máximos e mínimos devemos observar, além dos pontos críticos, os pontos extremos do domínio.

Iniciamos encontrando os possíveis pontos críticos a partir da primeira derivada e igualando a zero, na derivação devemos utilizar a derivada do produto: 

,

.

Em seguida, deve-se igualar a zero,  : 

.

Por fim, deve-se calcular o número de bactérias nos extremos e no ponto crítico. Para assim concluirmos quais são os pontos de máximo e mínimo dentro do intervalo adotado: 

;

;

.

Portanto, temos como o menor número de bactérias 125000 e como o maior número de bactérias 161787,94 no intervalo indicado. O gráfico do número de bactérias em função do tempo é o seguinte: 

Assista um exemplo em vídeo clicando aqui.