Exercícios resolvidos de limites – limites fundamentais

O primeiro passo ao resolver exercícios de limites é sempre aplicarmos o limite direto, mas muitas vezes chegamos a uma indeterminação. Assim, devemos buscar algumas alternativas afim de manipular a expressão e superar a indeterminação.

Neste post em que apresentamos Exercícios resolvidos de limites – limites fundamentais são muito úteis para conseguirmos eliminar a indeterminação e assim chegarmos a uma resposta.

Limites exercícios resolvidos – limites fundamentais

1) 

Como já comentamos no inicio deste post, o primeiro passo da resolução de um limite é aplicar o limite direto

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Como já suspeitávamos obtemos uma indeterminação. Para superá-la devemos manipular a expressão do limite. Visto que temos uma função trigonométrica no numerador, o limite tendendo a zero e a variável x no denominador. Tudo indica que podemos utilizar o 1º limite fundamental.

Para utilizar o 1º limite fundamental devemos ter a função seno no numerador, para isto propomos multiplicar a expressão do limite da seguinte forma:

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Em seguida, devemos utilizar a identidade trigonométrica, onde obtemos

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Manipulando a expressão para ficar na forma do limite fundamental temos:

,

e utilizando a propriedade da multiplicação dos limites temos

,

onde chegamos ao resultado final ao aplicar o limite fundamental

.

2)

Observe que ao aplicar o limite direto obtém-se um outro tipo de indeterminação:  

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Para resolver este limite utiliza-se novamente a propriedade da multiplicação, pois podemos abrir o limite em dois termos da seguinte forma:

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O segundo limite é uma divisão de polinômios, assim podemos aplicar a técnica informal em que analisamos apenas o comportamento do termo de maior grau como:

.

Assim, devemos apenas nos preocupar com o primeiro limite. Para este limite propomos uma troca de variável . Lembre que ao fazer a troca de variável temos sempre que analisar também o ponto limite.

Neste caso permanece tendendo a , pois quando x tende a infinito, y também tenderá a infinito. Assim, temos

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Novamente podemos abrir em dois limites como:

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Assim, temos 

.

Perceba que este novo limite é muito semelhante ao 2º tipo de limite fundamental, na qual para utilizarmos o limite fundamental devemos fazer mais uma troca de variável,  . 

Nota-se que o ponto limite permanece sendo , pois quando y tende a infinito, t também tenderá a infinito, assim temos 

.

Aplicando as propriedades das potências e potências de limite obtém-se:

,

por fim basta aplicar o 2º limite fundamental para obter:

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Continue seus estudos de limites assistindo a resolução de alguns exercícios em vídeo clicando aqui.