Conheça nossos treinamentos e E-Books gratuitos

Quero saber mais

JUNTE-SE À NOSSA LISTA DE LEITORES

Baixe de forma gratuita nossos Ebooks e treinamentos

A regra da cadeia passo a passo

No estudo das derivadas a regra da cadeia é uma ferramenta muito importante, pois ela possibilita derivar funções mais complexas (composição de funções simples). A ideia principal desta regra é abrir essas funções complicadas na composição de funções simples em que sabemos suas derivadas. Assim, iniciamos apresentando o Teorema da regra da cadeia e, em seguida, resolvem-se alguns exemplos utilizando a Regra da cadeia passo a passo.

Teorema da regra da cadeia

Seja $\displaystyle g$ uma função diferenciável no ponto $\displaystyle x$ e $\displaystyle f$ diferenciável no ponto $\displaystyle g(x)$ , então a composição $\displaystyle f\circ g$ é diferenciável no ponto $\displaystyle x$ e

$\displaystyle h'(x)=(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$ .

Em outras bibliografias, você pode encontrar também a regra da cadeia escrita da seguinte forma

$\displaystyle \frac{d\, f(g(x))}{dx}=\frac{d\, f(u)}{du}\cdot \frac{d\, u}{dx}$ ,

onde $\displaystyle u=g(x)$ , ou ainda, de forma mais simplificada

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d\, y}{du}\cdot \frac{d\, u}{dx}$ .

Exemplos – regra da cadeia passo a passo

1) Determine a derivada da função $\displaystyle y=cos(x^{3})$ .

O primeiro passo é identificar a composição da função:

$\displaystyle f(u)=cos(u)$ ;
$\displaystyle g(x)=x^{3}$ .

O segundo passo é derivar cada uma das funções simples separadamente:

$\displaystyle f'(u)=-sen(u)$ ;
$\displaystyle g'(x)=3x^{2}$ .

O terceiro passo é substituirmos na fórmula da regra da cadeia:

$\displaystyle y'(x)=f'(u)\cdot g'(x)=-sen(u)\cdot 3x^{2}$ .

Por fim, substituir a função auxiliar $\displaystyle u=g(x)$ e simplificar a solução

$\displaystyle y'(x)=-sen(x^{3})\cdot 3x^{2}$

$\displaystyle y'(x)=-3x^{2}sen(x^{3})$ .

2) Determine a derivada da função $\displaystyle y=ln(\sqrt[3]{e^{x}+1})$ .

Observe que essa função é formada pela composição de 3 funções simples. Assim, devemos aplicar a regra da cadeia duas vezes.

O primeiro passo é identificar a composição das funções simples:

$\displaystyle f(u)=ln(u)$ ;
$\displaystyle g(v)=\sqrt[3]{v}$ ;
$\displaystyle t(x)=e^{x}+1$ .

onde $\displaystyle u=g(v)$ e $\displaystyle v=t(x)$ .

O segundo passo é derivar cada uma das funções simples separadamente:

$\displaystyle f'(u)=\frac{1}{u}$ ;
$\displaystyle g'(v)=\frac{1}{3}v^{-\frac{2}{3}}$ ;
$\displaystyle t'(x)=e^{x}$ .

O terceiro passo é substituirmos na fórmula da regra da cadeia:

$\displaystyle y'(x)=f'(u)\cdot g'(v)\cdot t'(x)=\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{3}v^{-\frac{2}{3}}\cdot e^{x}$ .

Por fim, substituir as funções auxiliar $\displaystyle u=g(v)$ , $\displaystyle v=t(x)$ e simplificar a solução

$\displaystyle y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{v}}\cdot \frac{1}{3}(e^{x}+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot e^{x}$

$\displaystyle y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{e^{x}+1}}\cdot \frac{1}{3}(e^{x}+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot e^{x}$

$\displaystyle y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{e^{x}+1}}\cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(e^{x}+1)^{2}}}\cdot e^{x}$

$\displaystyle y'(x)=\frac{e^{x}}{3(e^{x}+1)}$ .

Acompanhe a resolução de outros exercícios que utilizam a Regra da Cadeia clicando aqui.

Compartilhe agora mesmo:

Você vai gostar também:

Função Par e Função Ímpar

Função Par e Função Ímpar

Função do 2 grau – exercícios resolvidos passo a passo

Função do 2 grau – exercícios resolvidos passo a passo

Cálculo de porcentagem: questão de concurso resolvida

Cálculo de porcentagem: questão de concurso resolvida

Para enviar seu comentário, preencha os campos abaixo:

Deixe um comentário Cancelar resposta

Seja o primeiro a comentar!

Damos valor à sua privacidade

Nós e os nossos parceiros armazenamos ou acedemos a informações dos dispositivos, tais como cookies, e processamos dados pessoais, tais como identificadores exclusivos e informações padrão enviadas pelos dispositivos, para as finalidades descritas abaixo. Poderá clicar para consentir o processamento por nossa parte e pela parte dos nossos parceiros para tais finalidades. Em alternativa, poderá clicar para recusar o consentimento, ou aceder a informações mais pormenorizadas e alterar as suas preferências antes de dar consentimento. As suas preferências serão aplicadas apenas a este website.

Cookies estritamente necessários

Estes cookies são necessários para que o website funcione e não podem ser desligados nos nossos sistemas. Normalmente, eles só são configurados em resposta a ações levadas a cabo por si e que correspondem a uma solicitação de serviços, tais como definir as suas preferências de privacidade, iniciar sessão ou preencher formulários. Pode configurar o seu navegador para bloquear ou alertá-lo(a) sobre esses cookies, mas algumas partes do website não funcionarão. Estes cookies não armazenam qualquer informação pessoal identificável.

Cookies de desempenho

Estes cookies permitem-nos contar visitas e fontes de tráfego, para que possamos medir e melhorar o desempenho do nosso website. Eles ajudam-nos a saber quais são as páginas mais e menos populares e a ver como os visitantes se movimentam pelo website. Todas as informações recolhidas por estes cookies são agregadas e, por conseguinte, anónimas. Se não permitir estes cookies, não saberemos quando visitou o nosso site.

Cookies de funcionalidade

Estes cookies permitem que o site forneça uma funcionalidade e personalização melhoradas. Podem ser estabelecidos por nós ou por fornecedores externos cujos serviços adicionámos às nossas páginas. Se não permitir estes cookies algumas destas funcionalidades, ou mesmo todas, podem não atuar corretamente.

Cookies de publicidade

Estes cookies podem ser estabelecidos através do nosso site pelos nossos parceiros de publicidade. Podem ser usados por essas empresas para construir um perfil sobre os seus interesses e mostrar-lhe anúncios relevantes em outros websites. Eles não armazenam diretamente informações pessoais, mas são baseados na identificação exclusiva do seu navegador e dispositivo de internet. Se não permitir estes cookies, terá menos publicidade direcionada.

Visite as nossas páginas de Políticas de privacidade e Termos e condições.