Regra da Cadeia passo a passo – Resolvendo Derivadas

Neste post apresentaremos a Regra da Cadeia passo a passo, esta que é uma das várias regras/propriedades das derivadas, que nos permite determinar as derivadas das funções sem o usar a definição. Esta regra de derivação é aplicada em funções compostas, ou também chamadas de funções de funções, onde uma função f(x) é o domínio da função g(u) sendo u=f(x), ou seja, g[f(x)].

Entretanto para podermos utilizar a temos Regra da Cadeia, as funções f(x) e g(u) devem ser deriváveis. Assim, antes aplicarmos a Regra da Cadeia passo a passo, devemos relembrar o seu Teorema:

Se $f(x)$ for diferenciável no domínio $x\in(a,b)$ e $g(u)$ for diferenciável no domínio $u=f(x)$ , então a função composta $g(f(x))$ (também escrita como $g\circ f$ ) é diferenciável em $x\in(a,b)$ . Além disso, a derivada é dada por

$\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[g\big(f(x)\big)\bigg]=\frac{d}{du}\big[g(u)\big]\cdot \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]$ ,

onde $u=f(x)$ .

Exercícios resolvidos

Derive as seguintes funções usando a Regra da Cadeia:

1) $\displaystyle t(x)=\sqrt{x^{2}-1}$

O primeiro passo para derivarmos funções compostas é identificar a composição da função dada, ou seja, o que representa a função $f(x)$ e o que representa a função $g(u)$ , neste caso temos

$\displaystyle f(x)=x^{2}-1$ ,

$\displaystyle g(u)=\sqrt{u}$ .

O próximo passo é derivar ambas funções separadamente, uma agora dependendo de x e a outra dependendo de u. Observe que nas duas podemos utilizar Derivada da Potência, uma vez que temos uma função raiz básica. Assim temos

$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\frac{d}{dx}\big[x^{2}-1\big]=\frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]-\frac{d}{dx}\big[1\big]=2x$ ,

$\displaystyle \frac{d}{du}\big[g(u)\big]=\frac{d}{du}\big[\sqrt{u}\big]=\frac{d}{dx}\big[u^{\frac{1}{2}}\big]=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$ .

O último passo é substituir na fórmula da Regra da Cadeia, lembrando que $u=f(x)$ assim temos

$\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[t(x)\bigg]=\frac{d}{dx}\bigg[g\big(f(x)\big)\bigg]=\frac{d}{du}\big[g(u)\big]\cdot \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x=$

$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{u}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ .

2) $\displaystyle h(x)=sen^{2}\left (e^{x+1}\right )$

Novamente, o primeiro passo para derivarmos funções compostas é identificar a composição da função dada. Observe que essa função é formada pela composição de 4 funções simples. Assim, devemos aplicar a regra da cadeia três vezes.

$\displaystyle g(u)=u^{2}$ onde $\displaystyle u=sen\left (e^{x+1}\right )$ ;

$\displaystyle f(v)=sen\left (v\right )$ onde $\displaystyle v=e^{x+1}$ ;

$\displaystyle t(w)=e^{w}$ onde $\displaystyle w=x+1$ ;

$\displaystyle k(x)=x+1$ .

O segundo passo é derivar todas funções separadamente, aqui utilizamos a derivada da potência, derivada trigonométrica, derivada exponencial e derivada da potência, respectivamente, caso tenha dificuldade em alguma delas clique aqui,