Integração por Substituição passo a passo – Resolvendo Integrais

Neste post resolveremos algumas integrais utilizando a Integração por Substituição passo a passo. Lembrando que recentemente publicamos uma ideia inicial da Integração por Substituição, como sendo a antiderivada da Regra da cadeia. Para ficar mais clara a sua aplicação, dedicaremos este post a resolver alguns exemplos passo a passo buscando eliminar possíveis dúvidas.

Dica: se você ao observar uma integral perceber que o integrando pode ser separado em dois termos e que a derivada de um deles é semelhante ao outro, possivelmente a metodologia a ser utilizada é a Integração por Substituição.

Obs: lembre-se que ao fazer a substituição, a variável do problema original não deve mais aparecer na nova integral. Ou seja, devemos ter apenas a variável que tivermos proposto para a substituição, em geral, utilizamos a substituição de uma função de x para um função em u.

Exercícios resolvidos de Integração por Substituição passo a passo

1) $\displaystyle \int cos^{3}(2x)sen(2x)dx$

Neste exercício podemos perceber facilmente o que dissemos na dica, pois a derivada

$\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[cos(2x)\bigg]=-2sen(2x)$

é semelhante do outro termo do integrando. Assim, quando substituímos $\displaystyle u=cos(2x)$ e derivando ambos os lados

$\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigg[cos(2x)\bigg]=-2sen(2x)$

$\displaystyle \Rightarrow \; \; \frac{du}{-2sen(2x)}=dx$ .

Substituindo na integral original obtém-se

$\displaystyle \int cos^{3}(2x)sen(2x)dx=\int u^{3}sen(2x)\frac{du}{-2sen(2x)}$

e simplificando chega-se a uma integral imediata em que sabemos sua integral

$\displaystyle -\frac{1}{2}\int u^{3}du$ .

Ao aplicar a integral imediata teremos

$\displaystyle -\frac{1}{2}\int u^{3}du=-\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3+1}}{3+1}+C=-\frac{u^{4}}{8}+C$ .

Por fim, substituindo a expressão referente a u chega-se a solução da integral

$\displaystyle -\frac{u^{4}}{8}+C=-\frac{cos^{4}(2x)}{8}+C$ .

Portanto,

$\displaystyle \int cos^{3}(2x)sen(2x)dx=-\frac{cos^{4}(2x)}{8}+C$ .

2) $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}}dx$

Novamente, o primeiro passo é determinar qual termo que derivado possui mesma estrutura dos demais, que podemos simplificar ou substituir a fim de eliminar a variável x.

Neste caso, perceba que se derivarmos a função que está no radicando (dentro da raiz), obteremos uma função semelhante da função do numerador. Assim, ao fazer a substituição eliminaremos a variável x. Tomando $\displaystyle u=x^{3}-4$ e derivando ambos os lados