Integrais por Substituição Trigonométrica – Exercícios resolvidos

Hoje daremos continuidade ao post da Integração por Substituição Trigonométrica, resolvendo algumas Integrais por Substituição Trigonométrica. Entretanto, se você ainda não estudou os 3 tipos possíveis de substituição, aconselho dar uma olhadinha no link acima. Como prometido, resolveremos os exercícios que envolvem os dois últimos tipos de substituição.

Resolvendo de Integrais por Substituição Trigonométrica

Resolva as seguintes integrais:

1) $\displaystyle \int\sqrt{x^{2}+4}dx$

Primeiramente, devemos identificar qual dos tipos de relações que devemos utilizar para a substituição. Neste caso, o termo raiz é a soma de 2 quadrados, assim, a raiz está na hipotenusa do triângulo, logo temos o segundo tipo.

Integrais por Substituição Trigonométrica-exercício 2 resolvido

Dessa forma, podemos tirar das relações do triângulo as seguintes expressões:

Função tangente: $\displaystyle x=2tg(\theta )$ .
Derivada da tangente: $\displaystyle dx=2sec^{2}(\theta )d\theta$ .
Função secante: $\displaystyle \sqrt{x^{2}+4}=2sec(\theta )$ .

Obs: para fazer a substituição trigonométrica sempre precisamos das duas últimas expressões para substituir: o termo dx e a raiz, algumas vezes utilizamos também a variável x.

Desse modo, substituindo cada expressão na integral original teremos

$\displaystyle \int\sqrt{x^{2}+4}dx=\int 2sec(\theta )2sec^{2}(\theta )d\theta$ .

Ou seja, a nova integral

$\displaystyle 4\int sec^{3}(\theta )d\theta$ .

A integral de potências da função secante são encontradas em formulários presentes em muitos livros. Entretanto, resolveremos aqui passo a passo. Para isto, devemos utilizar Integração por Partes onde

$\displaystyle u=sec(\theta )$

$\displaystyle du=sec(\theta )tg(\theta )d(\theta )$ .

$\displaystyle dv=sec^{2}(\theta )d\theta$ .

$\displaystyle v=tg(\theta )$ .

Assim, temos

$\displaystyle 4\int sec^{3}(\theta )d\theta=4sec(\theta )tg(\theta )-4\int tg(\theta )sec(\theta )tg(\theta )d(\theta )=$

$\displaystyle 4sec(\theta )tg(\theta )-4\int sec(\theta )tg^{2}(\theta )d(\theta )$ .

Lembre que $\displaystyle tg^{2}(\theta )=sec^{2}(\theta )-1$ , substituindo e organizando os termos obtemos

$\displaystyle 4\int sec^{3}(\theta )d\theta=4sec(\theta )tg(\theta )+4\int sec(\theta )d\theta-4\int sec^{3}(\theta )d\theta$ .

Observe que a integral do lado direito é igual a do lado esquerdo, assim, isolando e dividindo teremos

$\displaystyle 4\int sec^{3}(\theta )d\theta=2sec(\theta )tg(\theta )+2\int sec(\theta )d\theta$ .

Como $\displaystyle \int sec(\theta )d\theta=\ln|sec(\theta )+tg(\theta )|+C$ , temos

$\displaystyle 4\int sec^{3}(\theta )d\theta=2sec(\theta )tg(\theta )+2\ln|sec(\theta )+tg(\theta )|+C$ .

Por fim, devemos retornar a variável original, x, substituindo cada termo

Função tangente: $\displaystyle tg(\theta )=\frac{x}{2}$ .
Função secante: $\displaystyle sec(\theta )=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}$ .

Portanto,

$\displaystyle \int\sqrt{x^{2}+4}dx=4\int sec^{3}(\theta )d\theta=$

$\displaystyle \frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}+2\ln\bigg|\frac{\sqrt{x^{2}+4}+x}{2}\bigg|+C$ .

2) $\displaystyle \int\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}dx$

Não temos a necessidade de desenhar o triângulo para descrevermos as expressões, mas pode nos auxiliar a visualizar.

Integrais por Substituição Trigonométrica-exercício 3 resolvido

Assim temos:

Função secante: $\displaystyle x=3sec(\theta )$ .
Derivada da secante: $\displaystyle dx=3sec(\theta )tg(\theta )d\theta$ .
Função tangente: $\displaystyle \sqrt{x^{2}-9}=3tg(\theta )$ .
$\displaystyle x^{3}=27sec^{3}(\theta )$ .

Substituindo,

$\displaystyle \int\frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}dx=\int\frac{3sec(\theta )tg(\theta )d\theta}{27sec^{3}(\theta )3tg(\theta )}=\frac{1}{27}\int\frac{1}{sec^{2}(\theta )}d\theta$ .

Lembre que a função secante é 1 sobre cosseno e $\displaystyle cos^{2}(\theta )= \frac{cos(2\theta )+1}{2}$ , assim

$\displaystyle \int\frac{1}{sec^{2}(\theta )}d\theta=\int cos^{2}(\theta )d\theta=\int \frac{cos(2\theta )+1}{2}d\theta$ .

Abrindo em duas integrais e usando Integração por Substituição na integral que contém a função cosseno, obtemos

$\displaystyle \int \frac{cos(2\theta )+1}{2}d\theta=\frac{1}{2}\int cos(2\theta )d\theta+\frac{1}{2}\int d\theta=\frac{1}{4}sen(2\theta )+\frac{\theta }{2} +C$ .