Calculando o comprimento de uma função – exercícios resolvidos

Neste post estaremos Calculando o comprimento de uma função. Lembrando que já publicamos de forma resumida a construção da fórmula em que calcula o comprimento de uma curva. Assim, nos dedicaremos hoje apenas na sua aplicação.

Primeiramente recorde que a fórmula do comprimento de uma curva que é dada por

$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\;dx$

onde o comprimento é o caminho da função f(x) do ponto x=a até x=b.

Determine o comprimento da função $\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}$ entre x=0 até x=3.

Para aplicar a fórmula devemos calcular a derivada da função dada. Observe que para derivar ou devemos aplicar a Derivada do produto ou devemos transformar a função ao levar tudo para dentro da raiz.

$\displaystyle f'(x)=\frac{d}{dx}\big[x\sqrt{x}\big]=\frac{3\sqrt{x}}{2}$ .

Dessa forma, aplicando a fórmula o comprimento da função

$\displaystyle S=\int_{0}^{3}\sqrt{1+\left(\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)^{2}}\;dx=\int_{0}^{3}\sqrt{1+\frac{9x}{4}}\;dx$ .

Observe que para resolvermos a integral dada devemos aplicar o Método da Integração por Substituição. No link que acabamos de deixar apresentamos o método e a resolução passo a passo de um exemplo. Na integração usamos $\displaystyle u=1+\frac{9x}{4}$ , portanto, ao derivar ambos lados temos

$\displaystyle du=\frac{9}{4}dx$ .

Assim, seguindo os demais passos do método temos

$\displaystyle\int \sqrt{1+\left(\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)^{2}}\;dx=\frac{4}{9}\int \sqrt{u}\;du$ .

Integrando teremos

$\displaystyle \frac{4}{9}\int \sqrt{u}\;du=\frac{8}{27}u\sqrt{u}$ ,

substituindo u e voltando ao problema que estamos resolvendo teremos

$\displaystyle \int_{0}^{3}\sqrt{1+\left(\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)^{2}}\;dx=\frac{8}{27}\bigg(1+\frac{9x}{4}\bigg)\sqrt{\bigg(1+\frac{9x}{4}\bigg)}\Bigg|^{3}_{0}\approx 6,096$ .

Portanto, o comprimento calculado é

$\displaystyle S\approx 6,096$ .

A seguir, a gráfico da função em que calculamos o comprimento.

Calculando o comprimento de uma função

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Calculando o comprimento de uma função – exercícios resolvidos

Determine o comprimento da função $\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}$ entre x=0 até x=3.

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Regra do produto de 3 termos – derivada do produto de 3 funções

Exemplo 3 – Inequação do 1 Grau: Inequação Quociente

Problema de Máximos e Mínimos – Exercícios resolvidos

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