Resolvendo Integral usando duas técnicas: Integração por partes e Integração por substituição

Neste post estaremos Resolvendo Integral usando duas técnicas: Integração por partes e Integração por substituição. Caso queira rever estas duas técnicas com mais detalhes clique nos links a seguir: Integração por partes e Integração por substituição.

Resolva: $\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx$

O primeiro passo para utilizarmos a Integração por partes é definirmos as funções u(x) e dv. Entretanto, para resolver esta integral temos um truque, que é abrir o termo da potência sétima em duas

$\displaystyle \int x^{4}x^{3}\sqrt{1+x^{4}}dx$ .

Assim, tomando

$\displaystyle u=x^{4}\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;du=4x^{3}dx$

$\displaystyle dv=x^{3}\sqrt{1+x^{4}}$ .

Aqui observe que temos que integrar esta segunda equação, onde aplicamos a Técnica da Integração por substituição. Assim, tomando $\displaystyle w=1+x^{4}$ e derivando $\displaystyle dw=4x^{3}dx\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{dw}{4}=x^{3}dx$ , substituindo

$\displaystyle v=\int \sqrt{w}\frac{dw}{4}=\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}$

Aplicando a técnica da Integração por partes temos

$\displaystyle \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du$ .

Substituindo,

$\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\int\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}4x^{3}dx$

Perceba que após aplicarmos a Integração por Partes, temos uma nova integral, em que podemos utilizar novamente a Integração por substituição. Onde chamamos $\displaystyle u=1+x^{4}$ e derivando $\displaystyle du=4x^{3}dx$ . Assim, substituindo na integral temos

$\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\int(u)^{\frac{3}{2}}du$ .

Por fim, resolvendo esta última integral obtemos o resultado desejado

$\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{5}(u)^{\frac{5}{2}}+C$ ,

substituindo e simplificando

$\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx=x^{4}\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{15}(1+x^{4})^{\frac{5}{2}}+C$ .

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Resolva: $\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx$

$\displaystyle \int x^{4}x^{3}\sqrt{1+x^{4}}dx$ .

$\displaystyle u=x^{4}\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;du=4x^{3}dx$

$\displaystyle dv=x^{3}\sqrt{1+x^{4}}$ .

$\displaystyle v=\int \sqrt{w}\frac{dw}{4}=\frac{1}{6}(1+x^{4})^{\frac{3}{2}}$

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Resolva: $\displaystyle \int x^{7}\sqrt{1+x^{4}}dx$

$\displaystyle \int x^{4}x^{3}\sqrt{1+x^{4}}dx$ .

$\displaystyle dv=x^{3}\sqrt{1+x^{4}}$ .