Integração por Substituição Trigonométrica do primeiro tipo

O método da Integração por Substituição Trigonométrica do primeiro tipo é quando o integrando contém uma expressão algébrica do tipo

$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ,

onde a é uma constante positiva. O método tem como base a substituição destas expressões algébricas por expressões trigonométricas.

Em primeiro lugar, queremos relembrar as relações necessárias para substituição, que são a variável x, o termo dx e o termo raiz. O primeiro tipo tem como base a seguinte figura

Integração por Substituição Trigonométrica - Tipo 1

Assim, temos

$\displaystyle x=a\cdot sen(\theta )$

$\displaystyle dx=a\cdot cos(\theta )d\theta$ .

$\displaystyle \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cdot cos(\theta )$ .

Exercício: $\displaystyle \int \sqrt{9-4x^{2}}dx$

O primeiro passo é observar que podemos reescrever o integrando da seguinte forma

$\displaystyle \sqrt{9-4x^{2}}=\sqrt{4\left(\frac{9}{4}-x^{2}\right)}=2\sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}$

desta forma temos que resolver a seguinte integral que está no formato da Integração por Substituição Trigonométrica do primeiro tipo

$\displaystyle 2\int \sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}\;dx$ .

Assim, substituindo nas 3 relações apresentadas anteriormente temos

$\displaystyle x=\frac{3}{2}\cdot sen(\theta )$

$\displaystyle dx=\frac{3}{2}\cdot cos(\theta )d\theta$ .

$\displaystyle \sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}=\frac{3}{2}\cdot cos(\theta )$ .

Substituindo na integral teremos

$\displaystyle 2\int \sqrt{\frac{9}{4}-x^{2}}\;dx=2\int\frac{3}{2}\cdot cos(\theta )\frac{3}{2}\cdot cos(\theta )d\theta=\frac{9}{2}\int cos^{2}(\theta )d\theta$ .

A integral de cosseno ao quadrado é tabelada. Entretanto, iremos resolver como ela é calculada. Para isto, precisamos da seguinte relação trigonométrica

$\displaystyle cos^{2}(\theta )=\frac{1}{2}(1+cos(2\theta ))$