Volumes dos sólidos de revolução entorno do eixo y

A base do cálculo dos Volumes dos sólidos de revolução entorno do eixo y é semelhante ao caso entorno de x, onde devemos fatiar o domínio. Entretanto, neste devemos saber calcular o volume de cada uma destas fatias (camadas cilíndricas). Em seguida, formar uma soma de Riemann e fazer a espessura destas camadas tender a zero (limite).

Determinando a fórmula do Volumes dos sólidos de revolução entorno do eixo y

Primeiramente apresentamos uma imagem ilustratíva da formação do sólido.

Por tanto, o sólido é formado ao girarmos o objeto delimitado pela função f(x) e as retas x=a, x=b e y=0 entormo do eixo y. Em seguida, fatiamos o sólido em N camadas cilíndricas (anéis), onde cada anel é definido do raio r_iaté r_i+1, como vemos na figura.

Volumes dos sólidos de revolução entorno do eixo y II

Desta forma, o volume do anel V_i+1 é dado por

$\displaystyle V_{i+1}=\left(\pi r_{i+1}^{2}-\pi r_{i}^{2}\right)h_{i+1}$ ,

onde h_i+1 é a altura do anel V_i+1 e observe que a equação anterior é a expressão da subtração do volume de dois cilíndros. Manipulando a equação dada utilizando produtos notáveis temos

$\displaystyle V_{i+1}=\pi\left( r_{i+1}+r_{i}\right)\left( r_{i+1}-r_{i}\right)h$ $\displaystyle =2\pi\left( \frac{r_{i+1}+r_{i}}{2}\right)h\left( r_{i+1}-r_{i}\right)$ .

Observe que o termo do primeiro parenteses é o ponto médio do anel, ou seja, $\displaystyle x_{i+1/2}=\frac{r_{i+1}+r_{i}}{2}$ , e no segundo parenteses é a expessura do anel V_i+1 $\displaystyle \Delta x_{i+1}=r_{i+1}-r_{i}$ . Volume deste anel pode ser escrito como

$\displaystyle V_{i+1}=2\pi x_{i+1/2}f(x_{i+1/2})\Delta x_{i+1}$ .

Em seguida, somando todos os volumes dos anéis teremos um volume aproximado do sólido de revolução

$\displaystyle V=\sum_{i=0}^{N-1}2\pi x_{i+1/2}f(x_{i+1/2})\Delta r_{i+1}$ .

Por fim, tomando o limite de N tendendo ao infinito teremos $\Delta x_{i+1} \rightarrow 0$ e

$\displaystyle V=\lim_{N\rightarrow \infty } \sum_{i=0}^{N-1}2\pi x_{i+1/2}f(x_{i+1/2})\Delta x_{i+1}=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx$ .

Definição

Seja uma função f(x) continua não negativa em [a,b], então o volume de revolução V formado ao girarmos a função f(x) definida entre [a,b] entorno do eixo y e limitado por y=0 é determinado por

$\displaystyle V=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx$ .

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