Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos

Neste post resolveremos alguns Volumes de revolução entorno do eixo y. Aplicaremos a fórmula apresentado no post anterior em alguns exercícios. Se você quiser acompanhar a resolução de exercícios entorno do eixo x clique aqui.

Primeiramente, reapresentamos a definição da fórmula que iremos utilizar.

Definição

Seja uma função f(x) continua não negativa em [a,b], então o volume de revolução V formado ao girarmos a função f(x) definida entre [a,b] entorno do eixo y e limitado por y=0 é determinado por

$\displaystyle V=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx$ .

Determine o volume do objeto gerado ao girarmos as funções f(x) e g(x) entorno do eixo y entre os pontos de intersecção.

$\displaystyle f(x)=3-x^{2}$ e $\displaystyle g(x)=-\sqrt{3}x+3$

Para uma melhor compreensão do problema, geramos o gráfico das duas funções.

Volumes de revolução entorno do eixo y

Mas primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção ao igualarmos as duas funções.

$\displaystyle f(x)=g(x)$

$\displaystyle 3-x^{2}=-\sqrt{3}x+3\:\Rightarrow\: x^{2}-\sqrt{3}x=0\:\Rightarrow\: x(x-\sqrt{3})=0$

Assim para termos a última igualdade x deve ser $\displaystyle x=0$ ou $\displaystyle x=\sqrt{3}$ , logo os pontos são $\displaystyle (0,3)$ e $\displaystyle (\sqrt{3},0)$ .

Agora, aplicamos a definição, mas antes observe que a função f(x) é maior do que g(x) no intervalo de integração. Assim, temos

$\displaystyle V=\int_{0}^{\sqrt{3}}2\pi x(3-x^{2})dx-\int_{0}^{\sqrt{3}}2\pi x(-\sqrt{3}x+3)dx$ .

Como temos o mesmo intervalo de integração, podemos reescrever como uma única integral. Além disto, aproveitamos para associarmos os termos em comum

$\displaystyle V=\int_{0}^{\sqrt{3}}2\pi x(-x^{2}+\sqrt{3}x)dx$

e retirar o $\displaystyle 2\pi$ do integrando, uma vez que, ele não depende de x, assim temos

$\displaystyle V=2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}x(-x^{2}+\sqrt{3}x)dx$ .

No integrando temos uma multiplicação de polinômios, que resultará também em um polinômio. Assim, nosso problema se resume em integrar um polinômio. Portanto, temos

$\displaystyle V=2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}-x^{3}+\sqrt{3}x^{2}dx$ .

No integrando esta última equação teremos

$\displaystyle V=2\pi \left(-\frac{x^{4}}{4}+\sqrt{3}\frac{x^{3}}{3}\right)\bigg|_{0}^{\sqrt{3}}=2\pi \left(-\frac{9}{4}+3\right)=\frac{3\pi}{2}$ .

Observe que no exercício 2 do post passado já tinhamos resolvido este exercício. Porém, lá utilizamos a fórmula para os casos de revolução entorno do eixo x. Ambos podem ser utilizadas, você pode escolher a que melhor lhe convém.

Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos

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Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos

Definição

Determine o volume do objeto gerado ao girarmos as funções f(x) e g(x) entorno do eixo y entre os pontos de intersecção.

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Resolvendo Integral exp(x)cos(x) usando Integração por partes

Volumes dos sólidos de revolução entorno do eixo y

Integração por Substituição Trigonométrica do primeiro tipo

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