Integração de funções racionais por frações parciais – Exercício resolvido

No post de hoje resolveremos um exemplo de integral utilizando Integração de funções racionais por frações parciais. A ideia principal deste método é fatorar a função racional mais “complicada” em funções mais “fáceis”. Acompanhe a resolução, qualquer dúvida deixe seu comentário.

Faça a integração da seguinte função racional:

$\displaystyle\int \frac{x^{2}+2x-1}{2x^{3}+3x^{2}-2x}dx$ .

O primeiro passo para aplicarmos o método de Integração de funções racionais através das frações parciais é fatorar o denominador. Se conseguirmos obter fatores lineares (1º grau) torna a integração mais fácil. Entretanto, se não for possível podemos fatorar em graus maiores, porém quanto maior o grau torna a integração mais trabalhosa.

Observe que todos os termos da função do denominador possuem a variável x, isto indica que uma das raizes é o zero. Assim, fatorando temos

$\displaystyle x(2x^{2}+3x-2)$ .

Para fatoral a função de segundo grau que está dentro do parenteses podemos aplicar fórmula de Bhaskara. Dessa forma, encontraremos as outras duas raízes: e $1/2$ . Entretanto, tenha o cuidado, pois infinitos polinômios possuem o mesmo conjunto de raízes. Observe que se multiplicarmos os três fatores lineares teremos

$\displaystyle x\left(x-\frac{1}{2}\right )(x+2)=x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}-x$

que é diferente do denominador da nossa integral. Portanto, temos que ajustar, observe que o coeficiente do termo de maior grau do denominador da integral é 2. Este é um indicativo que devemos multiplicar a nossa fatoração por 2. Como temos três fatores, por conveniência, nós multiplicaremos o segundo fator, assim temos

$\displaystyle\int \frac{x^{2}+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}dx$ .

Se você fizer as multiplicações obterá a integral original. O próximo passo para decompormos a função racional é determinar os coeficientes para cada fator linear

$\displaystyle \frac{x^{2}+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}$ .

Se multiplicarmos ambos os lados da expressão anterior por $\displaystyle x(2x-1)(x+2)$ obteremos

$\displaystyle x^{2}+2x-1=A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)$ .

Para determinar os coeficientes A, B e C existem várias formas, nós indicamos a que julgamos mais rápida e fácil. O técnica consiste em substituir na variável x os valores das raízes. Ou seja, se substituimos x=0 temos

$\displaystyle 0^{2}+2\cdot 0-1=A(2\cdot 0-1)(0+2)+B\cdot 0(0+2)+C\cdot 0(2\cdot 0-1)$

logo $\displaystyle A=\frac{1}{2}$ . Se substituimos x=1/2 temos

$\displaystyle (1/2)^{2}+2\cdot (1/2)-1=A(2\cdot (1/2)-1)((1/2)+2)$

$\displaystyle +B\cdot (1/2)((1/2)+2)+C\cdot (1/2)(2\cdot (1/2)-1)$

logo $\displaystyle B=\frac{1}{5}$ . Se substituimos x=-2 temos

$\displaystyle (-2)^{2}+2\cdot (-2)-1=A(2\cdot (-2)-1)((-2)+2)$

$\displaystyle +B\cdot (-2)((-2)+2)+C\cdot (-2)(2\cdot (-2)-1)$

logo $\displaystyle C=-\frac{1}{10}$ .

Desta forma obtemos as frações parciais que facilitam a integração. Assim, temos

$\displaystyle\int \frac{x^{2}+2x-1}{2x^{3}+3x^{2}-2x}dx=\int\frac{1/2}{x}+\frac{1/5}{2x-1}-\frac{1/10}{x+2}dx$

que pode ser reescrita como

$\displaystyle \frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx+\frac{1}{5}\int\frac{1}{2x-1}dx-\frac{1}{10}\int\frac{1}{x+2}dx$ .

As novas integrais são todas resolvidas utilizando a integração direta $\displaystyle \int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C$ . Entretanto, a segunda e terceira integral temos que fazer primeiro uma substituição, onde obteremos a seguinte solução

$\displaystyle \frac{1}{2}ln|x|+\frac{1}{10}ln|2x-1|-\frac{1}{10}ln|x+2|+C$ .

Integração de funções racionais por frações parciais

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