Alguns exercícios resolvidos de logaritmos

Neste post apresentaremos alguns exercícios resolvidos de logaritmos. Para isso, devemos utilizar as Propriedades dos Logaritmos que postamos anteriormente.

Exercícios resolvidos de logaritmos passo a passo

1) (UFRGS – 2018) Se $\displaystyle log_{3} x+log_{9} x=1$ , então qual é o valor de x.

Primeiramente, observe que temos uma equação com dois logaritmos de bases diferentes. Assim precisamos manipular os logaritmos a fim de obter uma equação com uma única base. Podemos escolher como base 3, 9 ou ainda uma outra base. Entretanto, aconselho escolher como base 3 ou 9, assim precisamos manipular apenas um dos logaritmos. Se escolhermos 3 ou 9 obteremos o mesmo resultado, como veremos a seguir.

1ª proposta: mudança de base para a base 9
Utilizando a propriedade de mudança de base para $log_{3} x$ temos

$\displaystyle \log_{3} x=\frac{\log_{9}x}{\log_{9}3}$ .

Onde

$\displaystyle \log_{9}3=y\Rightarrow 3=9^{y}\Rightarrow y=\frac{1}{2}$ .

Assim temos

$\displaystyle \log_{3} x=2\log_{9}x$

e substituindo na equação original temos

$\displaystyle 2\log_{9}x+\log_{9}x=1\Rightarrow$
$\displaystyle 3\log_{9}x=1\Rightarrow \log_{9}x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=9^{\frac{1}{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{9}$ .

2ª proposta: mudança de base para a base 3
Utilizando a propriedade de mudança de base para $log_{9} x$ temos

$\displaystyle \log_{9} x=\frac{\log_{3}x}{\log_{3}9}$ .

Onde

$\displaystyle \log_{3}9=y\Rightarrow 9=3^{y}\Rightarrow y=2$ .

Assim temos

$\displaystyle \log_{9} x=\frac{\log_{3}x}{2}$

e substituindo na equação original temos

$\displaystyle \log_{3}x+\frac{\log_{3}x}{2}=1\Rightarrow$
$\displaystyle \frac{3\log_{3}x}{2}=1\Rightarrow \log_{3}x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=3^{\frac{2}{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{9}$ .

Dessa forma, obtemos o resultado por duas maneiras diferentes.

2) (UDESC-2008) Se $\displaystyle log_{a} b=3$ e $\displaystyle log_{ab} c=4$ , então qual é o valor de $\displaystyle log_{a} c$ .

Neste tipo de exercício devemos manipular o logaritmo que queremos solucionar a fim de usar as informações dadas pelo problema. Para isto, iniciamos fazendo uma mudança de base “ao contrário”

$\displaystyle \log_{b} c=\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}\Rightarrow\log_{a}c=\log_{a}b\cdot \log_{b} c$ .

O primeiro logaritmo do lado direito é fornecido pelo problema, na qual precisamos apenas substituir o valor dado. Desta forma, temos o seguinte problema

$\displaystyle \log_{a}c=3\cdot \log_{b} c$ .

Para resolver este segundo logaritmo utilizaremos a outra informação dada pelo problema. Para isto precisamos fazer uma nova mudança de base

$\displaystyle \log_{b} c=\frac{\log_{ab}c}{\log_{ab}b}$ .

Que substituindo a informação dada pelo problema temos

$\displaystyle \log_{b} c=\frac{4}{\log_{ab}b}$

e ao substituir esta parte no problema que estamos resolvendo temos

$\displaystyle \log_{a}c=3\cdot \frac{4}{\log_{ab}b}=\frac{12}{\log_{ab}b}$ .

Por fim, precisamos de mais uma mudança de base

$\displaystyle \log_{ab}b=\frac{\log_{a}b}{\log_{a}ab}$

e aplicando a Propriedade do Produto dos logaritmos no denominador temos

$\displaystyle \log_{ab}b=\frac{\log_{a}b}{\log_{a}a+\log_{a}b}=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}$ .

Para finalizar, precisamos apenas substituir e fazer a operação da divisão de frações

$\displaystyle \log_{a}c=\frac{12}{\frac{3}{4}}=12\cdot \frac{4}{3}=16$ .

Alguns exercícios resolvidos de logaritmos

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Alguns exercícios resolvidos de logaritmos

Exercícios resolvidos de logaritmos passo a passo

1) (UFRGS – 2018) Se $\displaystyle log_{3} x+log_{9} x=1$ , então qual é o valor de x.

2) (UDESC-2008) Se $\displaystyle log_{a} b=3$ e $\displaystyle log_{ab} c=4$ , então qual é o valor de $\displaystyle log_{a} c$ .

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