Alguns exercícios resolvidos de logaritmos – Parte 2

Neste post continuaremos a apresentar alguns exercícios resolvidos de logaritmos. Para isso, utilizaremos as Propriedades dos Logaritmos que postamos anteriormente.

Exercícios resolvidos de logaritmos passo a passo

1) (FUVEST – 2019) Se $\displaystyle log_{2} y=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}log_{2}x$ , para x>0, então

a) $\displaystyle y=\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{2}}$

b) $\displaystyle y=\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}$

c) $\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt[3]{x^{2}}$

d) $\displaystyle y=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{x^{2}}$

e) $\displaystyle y=\sqrt{2x^{3}}$

Primeiramente, observe que temos na equação dois logaritmos de bases iguais. Assim, podemos “uní-los” utilizando a Propriedade do Quociente dos Logaritmos. Dessa forma, primeiro isolamos os logaritmos no lado esquerdo da equação e aplicamos a propriedade da potência.

$\displaystyle log_{2} y-\frac{2}{3}log_{2}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow$

$\displaystyle log_{2} y-log_{2}x^{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow log_{2} y-log_{2}\sqrt[3]{x^{2}}=-\frac{1}{2}$

Em seguida, aplicamos a propriedade do quociente, na qual obtemos

$\displaystyle log_{2} \frac{y}{\sqrt[3]{x^{2}}}=-\frac{1}{2}$ .

Por fim, aplicamos a operação do logaritmo

$\displaystyle \frac{y}{\sqrt[3]{x^{2}}}=2^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow$

$\displaystyle \frac{y}{\sqrt[3]{x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y=\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

Portanto, a resposta é a letra a.

2) (UFMG 2009) Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente digitado. Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log, até aparecer um número negativo no visor. Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

Primeiramente, observe que o enunciado fala que a tecla log é o logaritmo decimal, ou seja, de base 10. Assim, cada vez que apertamos a tecla estamos obtemos o logaritmo de base 10 do resultado anterior. Desta forma, iniciamos digitando o número 10.000

Clicar 1ª vez a tecla log

Ao clicar a tecla log, a calculadora irá fazer

$\displaystyle \log_{10} 10000$ ,

onde no visor aparecerá o resultado da seguinte conta

$\displaystyle \log_{10} 10000=\log_{10}10^{4}\Rightarrow10^{4}=10^{x}$ .

Logo,

$\displaystyle x=4$ .

Portanto, no visor da calculadora irá aparecer o número 4. Assim, com N=1 ainda temos valor positivo.

Clicar 2ª vez a tecla log

Ao clicar pela segunda vez a tecla log, a calculadora irá fazer

$\displaystyle \log_{10} 4$ .

Aqui vale lembrar que esta é uma questão de vestibular e, portanto, não temos uma calculadora em mãos. O objetivo desta questão é obter a solução apenas utilizando as propriedades dos logaritmos.

Observe que nenhuma potência inteira de 4 é igual a 10, Dessa forma, $\displaystyle \log_{10} 4$ será um número decimal. Para termos uma aproximação desse resultado utilizaremos a propriedade de mudança de base

$\displaystyle \log_{10} 4=\frac{\log_{2} 4}{\log_{2} 10}=\frac{2}{\log_{2} 10}$ .

Nesta última igualdade apenas aplicamos o operador logaritmo no numerador, como, 4 é 2 na potência 2, obtemos 2 no numerador. Para o denominador utilizaremos a seguinte análise se 8<10<16 então

$\displaystyle \log_{2} 8<\log_{2}10<\log_{2}16$ .

Como $\displaystyle 8=2^{3}$ e $\displaystyle 16=2^{4}$ temos que

$\displaystyle 3<\log_{2}10<4$ .

Lembre que tinhamos $\displaystyle \log_{10} 4=\frac{2}{\log_{2} 10}$ . Portanto,

$\displaystyle \frac{2}{4}<\frac{2}{\log_{2} 10}<\frac{2}{3}$ .

OBS: quanto maior for o denominador de um mesmo número, menor será o valor da fração.

Portanto, com N=2 ainda temos valor positivo.

Clicar 3ª vez a tecla log

Como não temos um valor exato da segunda vez que clicamos na tecla log, analizaremos os dois extermos da desigualdade anterior.

$\displaystyle \log_{10}\frac{2}{4}$

Iniciamos aplicando a propriedade do quociente dos logaritmos

$\displaystyle \log_{10}\frac{2}{4}=\log_{10}2-\log_{10}4<0$ ,

pois $\displaystyle 2<4$ e ambas logaritmos tem mesma base. Portanto, sabemos que o lado esquerdo da desiqualdade é negativo. Caso o lado direito também será negativo obtemos o resultado da questão.

$\displaystyle \log_{10}\frac{2}{3}$

Iniciamos novamente aplicando a propriedade do quociente dos logaritmos

$\displaystyle \log_{10}\frac{2}{3}=\log_{10}2-\log_{10}3<0$ ,

pois $\displaystyle 2<3$ e ambas logaritmos tem mesma base. Portanto, como ambos lados de

$\displaystyle \log_{10}\frac{2}{4}<\log_{10}\frac{2}{\log_{2} 10}<\log_{10}\frac{2}{3}$

são valores negativos temos que

$\displaystyle \log_{10}\frac{2}{\log_{2} 10}<0$ .

Portanto, a resposta é a letra b.

Alguns exercícios resolvidos de logaritmos – Parte 2

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Alguns exercícios resolvidos de logaritmos – Parte 2

Exercícios resolvidos de logaritmos passo a passo

1) (FUVEST – 2019) Se $\displaystyle log_{2} y=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}log_{2}x$ , para x>0, então

a) $\displaystyle y=\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{2}}$

b) $\displaystyle y=\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}$

c) $\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt[3]{x^{2}}$

d) $\displaystyle y=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{x^{2}}$

e) $\displaystyle y=\sqrt{2x^{3}}$

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

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